第一种情况：在试用期间被证明不符合录用条件的。根据《劳动合同法》第39条第（一）项的规定，如果说员工入职公司工作一段时间后，且还处在试用期时间内（试用期时间和签订劳动合同时间长短有关，以前文章有讲到过），公司发现员工不满足当初招聘时候设立的招聘条件。

　　公司就可以在试用期内主张和公司员工解除劳动合同关系，同时不需要支付赔偿。但是，公司通过此种方式解除，需要公司提供充足的证据，比如招聘时的具体条件和原始证据，其次还需要提供试用期员工被证明不符合录用条件的证据。

　　第二种情况：员工严重违反公司规章制度。根据《劳动合同法》第39条第（二）项的规定，如果说员工严重违反公司的规章制度，那么公司可以解除和员工的劳动关系。但是，通过此种理由解除劳动关系，首先要满足公司的规章制度存在具体条款且制定程序和内容合法，其次还需要将合法制定的规章制度告知给员工。公司的规章制度制定程序上要求通过职工（代表）大会提出讨论和具体修改意见才算合法，同时规章制度的具体内容不能违法法律法规的规定，一旦公司的规章制度违法法律法规规定，那么该公司的规章制度无效。

　　第三种情况：严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害。根据《劳动合同法》第39条第（三）项的规定，如果员工在履行职务的过程中发生严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害，那么公司是可以主张和员工解除劳动关系并且不支付经济补偿。

　　第四种情况：员工同时与其他公司建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出，拒不改正的。根据《劳动合同法》第39条第（四）项的规定，如果员工同时与两家及以上的公司建立劳动关系，给公司造成严重影响，或者经过公司提出来，员工没有限期改正的，公司可直接开除员工。

　　第五种情况：签订的劳动合同无效或者部分无效开除员工。根据《劳动合同法》第26条第一款的规定，如有以下三种情况，劳动合同无效：（一）以欺诈、胁迫的手段或者乘人之危，使对方在违背真实意思的情况下订立或者变更劳动合同的；（二）用人单位免除自己的法定责任、排除劳动者权利的；（三）违反法律、行政法规强制性规定的。公司以上述三条的规定作为理由和员工签订的劳动合同无效开除员工，公司也不用承担赔偿责任。

　　第六种情况：被依法追究刑事责任的。根据《劳动合同法》第39条第（六）项的规定，如果员工被依法追究刑事责任，那么公司可以开除员工且不用赔偿。一般追究刑事责任可能会限制人身自由，影响工作开展，所以法律才这么规定。一般的违法行为公司不能根据这条开除员工，比如因超速被交警处罚款，因打架寻衅滋事被派出所拘留等，这些都是行政处罚，不属于追究刑事责任范畴。